Matura 2023 z matematyki rozpoczęła się o godzinie 9 w poniedziałek 8 maja. Wiemy już, że część zadań na maturze w formule 2015 pokrywała się z zadaniami na egzaminie w formule 2023. Matura podstawowa - zadania CKE - drugi zestaw W tym dziale znajdują się zadania treningowe do matury podstawowej przygotowane przez CKE. Zadania zostały przygotowane dla poprzedniej podstawy programowej, czyli przed 2015 rokiem. Większość tych zadań jest nadal aktualna do nowej matury po 2015 roku. Zadania zgodne z aktualną podstawą są oznaczone w prawym górnym rogu napisem: "Matura podstawowa". Szybka nawigacja do zadania numer: 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 .Liczba \( 3^{30}\cdot 9^{90} \) jest równa: A.\(3^{210} \) B.\(3^{300} \) C.\(9^{120} \) D.\(27^{2700} \) ALiczba \( 3^{\frac{8}{3}}\cdot \sqrt[3]{9^2} \) jest równa: A.\(3^3 \) B.\(3^{\frac{32}{9}} \) C.\(3^4 \) D.\(3^5 \) CLiczba \( \log 24 \) jest równa: A.\(2\log 2+\log 20 \) B.\(\log 6+2\log 2 \) C.\(2\log 6-\log 12 \) D.\(\log 30-\log 6 \) BLiczba \( 30 \) to \( p\% \) liczby \( 80 \), zatem: A.\(p42{,}5 \) A\( 4\% \) liczby \( x \) jest równe \( 6 \), zatem: A.\(x=150 \) B.\(x\lt 150 \) C.\(x=240 \) D.\(x\gt 240 \) ALiczba \( y \) to \( 120\% \) liczby \( x \). Wynika stąd, że: A.\(y=x+0{,}2 \) B.\(y=x+0{,}2x \) C.\(x=y-0{,}2 \) D.\(x=y-0{,}2y \) BRozwiązaniem równania \( \frac{x-3}{2-x}=\frac{1}{2} \) jest liczba: A.\(-\frac{4}{3} \) B.\(-\frac{3}{4} \) C.\(\frac{3}{8} \) D.\(\frac{8}{3} \) DMniejszą z dwóch liczb spełniających równanie \( x^2+5x+6=0 \) jest A.\(-6 \) B.\(-3 \) C.\(-2 \) D.\(-1 \) BLiczba \( 1 \) jest miejscem zerowym funkcji liniowej \( f(x)=(2-m)x+1 \). Wynika stąd, że A.\(m=0 \) B.\(m=1 \) C.\(m=2 \) D.\(m=3 \) DFunkcja \( f \) jest określona wzorem \( f(x)=\begin{cases} -3x+4 &\text{dla }x\lt 1\\ 2x-1 &\text{dla }x\ge 1 \end{cases} \). Ile miejsc zerowych ma ta funkcja? A.\(0 \) B.\(1 \) C.\(2 \) D.\(3 \) ARysunek przedstawia wykres funkcji \(y = f(x)\). Wskaż rysunek na którym jest przedstawiony wykres funkcji \(y = f(x + 1)\). DKtóry z zaznaczonych przedziałów jest zbiorem rozwiązań nierówności \(|2 - x| \le 3\). CWskaż równanie osi symetrii paraboli określonej równaniem \( y=-x^2+4x-11 \). A.\(x=-4 \) B.\(x=-2 \) C.\(x=2 \) D.\(x=4 \) CWskaż funkcję kwadratową, której zbiorem wartości jest przedział \( (-\infty ;3 \rangle \). A.\(f(x)=-(x-2)^2+3 \) B.\(f(x)=(2-x)^2+3 \) C.\(f(x)=-(x+2)^2-3 \) D.\(f(x)=(2-x)^2-3 \) AZbiorem rozwiązań nierówności \( x^2\ge 5 \) jest A.\(( -\infty ;-\sqrt{5} )\cup ( \sqrt{5};+\infty ) \) B.\(( -\infty ;-\sqrt{5} \rangle \cup \langle \sqrt{5};+\infty ) \) C.\(\langle \sqrt{5};+\infty ) \) D.\(\langle 5;+\infty ) \) BWykres funkcji kwadratowej \( f(x)=3(x+1)^2-4 \) nie ma punktów wspólnych z prostą o równaniu A.\(y=1 \) B.\(y=-1 \) C.\(y=-3 \) D.\(y=-5 \) DProsta o równaniu \( y=a \) ma dokładnie jeden punkt wspólny z wykresem funkcji kwadratowej \( f(x)=-x^2+6x-10 \). Wynika stąd, że A.\(a=3 \) B.\(a=0 \) C.\(a=-1 \) D.\(a=-3 \) CJaka jest najmniejsza wartość funkcji kwadratowej \( f(x)=x^2+4x-3 \) w przedziale \( \langle 0, 3 \rangle \)? A.\(-7 \) B.\(-4 \) C.\(-3 \) D.\(-2 \) CDane są wielomiany \( W(x)=3x^3-2x, V(x)=2x^2+3x \). Stopień wielomianu \( W(x)\cdot V(x) \) jest równy A.\(6 \) B.\(5 \) C.\(4 \) D.\(3 \) BIle rozwiązań rzeczywistych ma równanie \( 5x^4-13=0 \)? A.\(1 \) B.\(2 \) C.\(3 \) D.\(4 \) BWskaż liczbę rozwiązań równania \(\frac{11-x}{x^2-11}=0 \). A.\(0 \) B.\(1 \) C.\(2 \) D.\(3 \) BWskaż równanie prostej równoległej do prostej o równaniu \( y=2x-7 \). A.\(y=-2x+7 \) B.\(y=-\frac{1}{2}x+5 \) C.\(y=\frac{1}{2}x+2 \) D.\(y=2x-1 \) DKtóre z poniższych równań opisuje prostą prostopadłą do prostej o równaniu \( y=4x+5 \). A.\(y=-4x+3 \) B.\(y=-\frac{1}{4}x+3 \) C.\(y=\frac{1}{4}x+3 \) D.\(y=4x+3 \) BPunkty \( A=(-1,3)\) i \(C=(7,9) \) są przeciwległymi wierzchołkami prostokąta \( ABCD \). Promień okręgu opisanego na tym prostokącie jest równy A.\(10 \) B.\(6\sqrt{2} \) C.\(5 \) D.\(3\sqrt{2} \) CLiczba punktów wspólnych okręgu o równaniu \( (x+3)^2+(y-1)^2=4 \) z osiami układu współrzędnych jest równa A.\(0 \) B.\(1 \) C.\(2 \) D.\(4 \) CŚrodek \( S \) okręgu o równaniu \( x^2+y^2+4x-6y-221=0 \) ma współrzędne A.\(S=(-2,3) \) B.\(S=(2,-3) \) C.\(S=(-4,6) \) D.\(S=(4,-6) \) ADane są długości boków \(|BC|=5\) i \(|AC|=3\) trójkąta prostokątnego \( ABC \) o kącie ostrym \( \beta \) . Wtedy A.\(\sin \beta =\frac{3}{5} \) B.\(\sin \beta =\frac{4}{5} \) C.\(\sin \beta =\frac{3\sqrt{34}}{34} \) D.\(\sin \beta =\frac{5\sqrt{34}}{34} \) CKąt \( \alpha \) jest ostry i \( \sin \alpha =\frac{1}{4} \). Wówczas A.\(\cos \alpha \lt \frac{3}{4} \) B.\(\cos \alpha =\frac{3}{4} \) C.\(\cos \alpha =\frac{\sqrt{13}}{4} \) D.\(\cos \alpha >\frac{\sqrt{13}}{4} \) DKąt \( \alpha \) jest kątem ostrym i \( \operatorname{tg} \alpha =\frac{1}{2} \). Jaki warunek spełnia kąt \( \alpha \)? A.\(\alpha \lt 30^\circ \) B.\(\alpha =30^\circ \) C.\(\alpha =60^\circ \) D.\(\alpha >60^\circ \) AKąt między cięciwą \( AB \) a styczną do okręgu w punkcie \( A \) ma miarę \( \alpha =62^\circ \). Wówczas: A.\(\beta =118^\circ \) B.\(\beta =124^\circ \) C.\(\beta =138^\circ \) D.\(\beta =152^\circ \) BKąt środkowy i kąt wpisany są oparte na tym samym łuku. Suma ich miar jest równa \( 180^\circ \). Jaka jest miara kąta środkowego? A.\(60^\circ \) B.\(90^\circ \) C.\(120^\circ \) D.\(135^\circ \) CRóżnica miar kątów wewnętrznych przy ramieniu trapezu równoramiennego, który nie jest równoległobokiem, jest równa \( 40^\circ \). Miara kąta przy krótszej podstawie jest równa. A.\(120^\circ \) B.\(110^\circ \) C.\(80^\circ \) D.\(70^\circ \) BOdcinki \( BC\) i \(DE \) są równoległe. Długości odcinków \( AC, CE \) i \( BC \) są podane na rysunku. Długość odcinka \( DE \) jest równa A.\(6 \) B.\(8 \) C.\(10 \) D.\(12 \) CPole kwadratu wpisanego w okrąg o promieniu \( 4 \) cm jest równe A.\(64\) cm2 B.\(32\) cm2 C.\(16\) cm2 D.\(8\) cm2 BCiąg \(a_n\) jest określony wzorem \(a_n=(-3)^n\cdot (9-n^2)\) dla \(n\ge 1\). Wynika stąd, że A.\( a_3=-81 \) B.\( a_3=-27 \) C.\( a_3=0 \) D.\( a_3>0 \) CLiczby \(x-1,\ 4,\ 8\) (w podanej kolejności) są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Wówczas liczba \(x\) jest równa A.\( 3 \) B.\( 1 \) C.\( -1 \) D.\( -7 \) BLiczby \(-8,\ 4,\ x+1\) (w podanej kolejności) są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu geometrycznego. Wówczas liczba \(x\) jest równa. A.\( -3 \) B.\( -1{,}5 \) C.\( 1 \) D.\( 15 \) AWszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, które są podzielne przez \(6\) lub przez \(10\), jest A.\( 25 \) B.\( 24 \) C.\( 21 \) D.\( 20 \) CWszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, których obie cyfry są mniejsze od \(5\) jest A.\( 16 \) B.\( 20 \) C.\( 25 \) D.\( 30 \) BLiczba sposobów, na jakie Ala i Bartek mogą usiąść na dwóch spośród pięciu miejsc w kinie, jest równa A.\( 25 \) B.\( 20 \) C.\( 15 \) D.\( 12 \) BMediana danych: \(0, 1, 1, 2, 3, 1\) jest równa A.\( 1 \) B.\( 1{,}5 \) C.\( 2 \) D.\( 2{,}5 \) AMediana danych przedstawionych w tabeli liczebności jest równa wartość \(0\) \(1\) \(2\) \(3\) liczebność \(5\) \(2\) \(1\) \(1\) A.\( 0 \) B.\( 0{,}5 \) C.\( 1 \) D.\( 5 \) AŚrednia arytmetyczna danych przedstawionych na diagramie częstości jest równa A.\( 1 \) B.\( 1{,}2 \) C.\( 1{,}5 \) D.\( 1{,}8 \) AZe zbioru liczb \(\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}\) wybieramy losowo jedną liczbę. Liczba \(p\) oznacza prawdopodobieństwo otrzymania liczby podzielnej przez \(3\). Wtedy A.\( p\lt 0{,}25 \) B.\( p=0{,}25 \) C.\( p=\frac{1}{3} \) D.\( p>\frac{1}{3} \) BO zdarzeniach losowych \(A\) i \(B\) zawartych w \(\Omega \) wiadomo, że \(B\subset A\), \(P(A)=0{,}7\) i \(P(B)=0{,}3\). Wtedy A.\( P(A\cup B)=1 \) B.\( P(A\cup B)=0{,}7 \) C.\( P(A\cup B)=0{,}4 \) D.\( P(A\cup B)=0{,}3 \) BPrzekątna sześcianu ma długość \(3\). Pole powierzchni całkowitej tego sześcianu jest równe A.\( 54 \) B.\( 36 \) C.\( 18 \) D.\( 12 \) CPole powierzchni całkowitej sześcianu jest równe \(24\) cm2. Objętość tego sześcianu jest równa A.\( 8 \) cm3 B.\( 16 \) cm3 C.\( 27 \) cm3 D.\( 64 \) cm3 APrzekątna prostopadłościanu o wymiarach \(2 \times 3 \times 5\) ma długość A.\( \sqrt{13} \) B.\( \sqrt{29} \) C.\( \sqrt{34} \) D.\( \sqrt{38} \) DPrzekrój osiowy walca jest kwadratem o boku długości \(6\). Objętość tego walca jest równa A.\( 18\pi \) B.\( 54\pi \) C.\( 108\pi \) D.\( 216\pi \) BPrzekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym o boku długości \(6\). Pole powierzchni bocznej tego stożka jest równe: A.\( 12\pi \) B.\( 18\pi \) C.\( 27\pi \) D.\( 36\pi \) BRozwiąż równanie \(\frac{2-3x}{1-2x}=-\frac{1}{2}\).\(x=\frac{5}{8}\)Rozwiąż układ równań \(\begin{cases} x+3y=5\\ 2x-y=3 \end{cases} \).\(\begin{cases} x=2 \\ y=1 \end{cases} \)Rozwiąż nierówność \(x^2+6x-7\le 0\).\(x\in \left\langle -7; 1 \right\rangle \)Rozwiąż równanie \(2x^3-x^2-6x+3=0\).\(x=\frac{1}{2}\) lub \(x=\sqrt{3}\) lub \(x=-\sqrt{3}\)O funkcji liniowej \(f\) wiadomo, że \(f(1)=2\) oraz, że do wykresu tej funkcji należy punkt \(P = (-2,3)\). Wyznacz wzór funkcji \(f\).\(f(x)=-\frac{1}{3}x+\frac{7}{3}\)Oblicz miejsca zerowe funkcji \[f(x)=\begin{cases} 2x+1\quad \text{dla }x\le 0\\ x+2\quad \text{dla }x>0 \end{cases} \]\(x=-\frac{1}{2}\)Naszkicuj wykres funkcji \[f(x)=\begin{cases} 2x+1\quad \text{dla }x\le 0\\ x+2\quad \text{dla }x>0 \end{cases} \]Oblicz najmniejszą wartość funkcji kwadratowej \(f(x)=x^2-6x+1\) w przedziale \(\langle 0,1 \rangle\).\(-4\)Wielomiany \(W(x)=ax(x+b)^2\) i \(V(x)=x^3+2x^2+x\) są równe. Oblicz \(a\) i \(b\).\(a=1\), \(b=1\)Wyrażenie \(\frac{3}{x-3}-\frac{x}{x+1}\) zapisz w postaci ilorazu dwóch wielomianów.\(\frac{-x^2+6x+3}{(x-3)(x+1)}\)Napisz równanie prostej równoległej do prostej o równaniu \(2x-y-11=0\) i przechodzącej przez punkt \(P=(1,2)\).\(y=2x\)Wyznacz równanie okręgu stycznego do osi \(Oy\), którego środkiem jest punkt \(S=(3, -5)\).\((x-3)^2+(y+5)^2=9\)Wyznacz równanie okręgu o środku w punkcie \(S = (3, -5)\) przechodzącego przez początek układu współrzędnych.\((x-3)^2+(y+5)^3=34\)Wyznacz równanie prostej zawierającej środkową \(CD\) trójkąta \(ABC\), którego wierzchołkami są punkty \(A=(-2, -1)\), \(B = (6, 1)\), \(C = (7, 10)\).\(y=2x-4\)W trójkącie prostokątnym, w którym przyprostokątne mają długości \(2\) i \(4\), jeden z kątów ostrych ma miarę \(\alpha \). Oblicz \(\sin \alpha \cdot \cos \alpha \).\(\frac{2}{5}\)Kąt \(\alpha \) jest ostry i \(\sin \alpha =\frac{1}{4}\). Oblicz \(3+2\operatorname{tg}^2\alpha \).\(\frac{47}{15}\)Punkt \(D\) leży na boku BC trójkąta równoramiennego \(ABC\), w którym \(|AC| = |BC|\). Odcinek \(AD \) dzieli trójkąt \(ABC\) na dwa trójkąty równoramienne w taki sposób, że \(|AB| = |AD| = |CD|\). Oblicz miary kątów trójkąta \(ABC\). \(72^\circ \), \(72^\circ \), \(36^\circ \)Oblicz pole trójkąta równoramiennego \(ABC\), w którym \(|AB| = 24\) i \(|AC| = |BC| = 13\).\(60\)Liczby \(4, 10, c\) są długościami boków trójkąta równoramiennego. Oblicz \(c\).\(c=10\)Liczby \(6, 10, c\) są długościami boków trójkąta równoramiennego. Oblicz \(c\).\(c=6\) lub \(c=10\)Liczby \(6, 10, c\) są długościami boków trójkąta prostokątnego. Oblicz \(c\).\(c=2\sqrt{34}\) lub \(c=8\)Liczby \(x - 1, x, 5\) są długościami boków trójkąta równoramiennego. Oblicz \(x\).\(x=5\) lub \(x=6\)Obwód czworokąta wypukłego \(ABCD\) jest równy \(50\) cm. Obwód trójkąta \(ABD\) jest równy \(46\) cm, a obwód trójkąta \(BCD\) jest równy \(36\) cm. Oblicz długość przekątnej \(BD\).\(|BD|=16\)Ile wyrazów ujemnych ma ciąg \((a_n)\) określony wzorem \(a_n = n^2 - 2n - 24\) dla \(n \ge 1\)?\(5\)Liczby \(2, x-3, 8\) w podanej kolejności są pierwszym, drugim i czwartym wyrazem ciągu arytmetycznego. Oblicz \(x\).\(x=7\)Wyrazami ciągu arytmetycznego \((a_n)\) są kolejne liczby naturalne, które przy dzieleniu przez \(5\) dają resztę \(2\). Ponadto \(a_3 = 12\). Oblicz \(a_{15}\).\(a_{15}=72\)Ile jest liczb naturalnych czterocyfrowych takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje jedna cyfra nieparzysta i trzy cyfry parzyste.\(2125\)Ile jest liczb naturalnych dwucyfrowych podzielnych przez \(15\) lub \(20\)?\(9\)Ile jest liczb naturalnych trzycyfrowych, w których cyfra dziesiątek jest o \(2\) większa od cyfry jedności?\(72\)Na jednej prostej zaznaczono \(3\) punkty, a na drugiej \(4\) punkty. Ile jest wszystkich trójkątów, których wierzchołkami są trzy spośród zaznaczonych punktów?\(30\)Średnia arytmetyczna liczb: \(3, 1, 1, 0, x, 0\) jest równa \(2\). Oblicz \(x\).\(x=7\)Oblicz średnią arytmetyczną danych przedstawionych na poniższym diagramie częstości. \(\frac{9}{10}\)Oblicz medianę danych: \(0, 1, 3, 3, 1, 1, 2, 1\).\(1\)Oblicz medianę danych przedstawionych w postaci tabeli liczebności wartość \(0\) \(1\) \(2\) \(3\) liczebność \(4\) \(3\) \(1\) \(1\) \(1\)Ze zbioru liczb \(\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11\}\) wybieramy losowo jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania liczby podzielnej przez \(3\) lub przez \(2\).\(\frac{7}{11}\)Ze zbioru liczb naturalnych dwucyfrowych wybieramy losowo jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania liczby podzielnej przez \(15\).\(\frac{1}{15}\)Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania iloczynu oczek równego \(5\).\(\frac{1}{18}\)\(A\) i \(B\) są takimi zdarzeniami losowymi zawartymi w \(\Omega \), że \(A\subset B\) oraz \(P(A)=0{,}3\) i \(P(B)=0{,}4\). Oblicz \(P(A\cup B)\).\(0{,}4\)\(A\) i \(B\) są takimi zdarzeniami losowymi zawartymi w \(\Omega \), że \(A\subset B\) oraz \(P(A)=0{,}3\) i \(P(B)=0{,}7\). Oblicz prawdopodobieństwo różnicy \(B\backslash A\).\(0{,}4\)Przekątna sześcianu ma długość \(9\). Oblicz pole powierzchni całkowitej tego sześcianu.\(162\)Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równoramiennym o podstawie długości \(12\). Wysokość stożka jest równa \(8\). Oblicz pole powierzchni bocznej tego stożka. \(60\pi \)Oblicz sinus kąta między przekątną sześcianu, a jego płaszczyzną podstawy.\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)Czworokąty \(ABCD\) i \(APQR\) są kwadratami. Udowodnij, że \(|BP| = |DR|\). Na boku \(BC\) trójkąta \(ABC\) wybrano punkt \(D\) tak, by \(|\sphericalangle CAD| = |\sphericalangle ABC|\). Odcinek \(AE\) jest dwusieczną kąta \(DAB\). Udowodnij, że \(|AC| = |CE|\). Oblicz sumę wszystkich liczb trzycyfrowych zapisanych wyłącznie za pomocą cyfr wybranych ze zbioru \(\{0,1,2,3\}\).\(10392\)Z pojemnika, w którym są dwa losy wygrywające i trzy losy puste, losujemy dwa razy po jednym losie bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo, że otrzymamy co najmniej jeden los wygrywający. Wynik przedstaw w postaci ułamka nieskracalnego.\(\frac{7}{10}\)Z miejscowości \(A\) i \(B\) oddalonych od siebie o \(182\) km wyjeżdżają naprzeciw siebie dwaj rowerzyści. Rowerzysta jadący z miejscowości \(B\) do miejscowości \(A\) jedzie ze średnią prędkością mniejszą od \(25\) km/h. Rowerzysta jadący z miejscowości \(A\) do miejscowości \(B\) wyjeżdża o \(1\) godzinę wcześniej i jedzie ze średnią prędkością o \(7\) km/h większą od średniej prędkości drugiego rowerzysty. Rowerzyści spotkali się w takim miejscu, że rowerzysta jadący z miejscowości \(A\) przebył do tego miejsca \(\frac{9}{13}\) całej drogi z \(A\) do \(B\). Z jakimi średnimi prędkościami jechali obaj rowerzyści?\(v_1=7\) km/h, \(v_2=14\) km/hUczeń przeczytał książkę liczącą \(480\) stron, przy czym każdego dnia czytał taką samą liczbę stron. Gdyby czytał każdego dnia o \(8\) stron więcej, to przeczytałby tę książkę o \(3\) dni wcześniej. Oblicz, ile dni uczeń czytał tę książkę.\(15\)Liczby \(a, b, c\) tworzą w podanej kolejności ciąg geometryczny. Suma tych liczb jest równa \(93\). Te same liczby, w podanej kolejności są pierwszym, drugim i siódmym wyrazem ciągu arytmetycznego. Oblicz \(a, b\) i \(c\).\(a=3\), \(b=15\), \(c=75\)Wyznacz wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego wiedząc, że suma pierwszych pięciu jego wyrazów jest równa \(10\), a wyrazy trzeci, piąty i trzynasty tworzą w podanej kolejności ciąg geometryczny.\(a_n=2\) lub \(a_n=3n-7\)Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego \(ABCDS\) jest kwadrat \(ABCD\). Pole trójkąta równoramiennego \(ACS\) jest równe \(120\) oraz \(|AC| : |AS| = 10 : 13\) . Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.\(20\sqrt{313}\)Podstawą ostrosłupa \(ABCDE\) jest kwadrat \(ABCD\). Punkt \(F\) jest środkiem krawędzi \(AD\), odcinek \(EF\) jest wysokością ostrosłupa (patrz rysunek). Oblicz objętość ostrosłupa, jeśli wiadomo, że \(|AE|=15\), \(|BE|=17\). \(\frac{64\sqrt{209}}{3}\)Dany jest trójkąt prostokątny \(ABC\), w którym \(|BC| = 30\), \(|AC| = 40\), \(|AB| = 50\). Punkt \(W\) jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt. Okrąg wpisany w trójkąt \(ABC\) jest styczny do boku \(AB\) w punkcie \(M\). Oblicz długość odcinka \(CM\). \(2\sqrt{145}\)Na zewnątrz trójkąta prostokątnego \(ABC\), w którym \(|\sphericalangle ACB| = 90\) oraz \(|AC| = 5\), \(|BC| = 12\) zbudowano kwadrat \(ACDE\) (patrz rysunek). Punkt \(H\) leży na prostej \(AB\) i kąt \(|\sphericalangle EHA| = 90^\circ\). Oblicz pole trójkąta \(HAE\). \(\frac{750}{169}\)Wykaż, że prawdziwa jest nierówność \(\sqrt{2^{50} + 1} + \sqrt{2^{50} - 1} \lt 2^{26}\).Udowodnij, że jeśli: a) \(x, y\) są liczbami rzeczywistymi, to \(x^2 + y^2 \ge 2xy\). b) \(x, y, z\) są liczbami rzeczywistymi takimi, że \(x + y + z = 1\), to \(x^2 + y^2 + z^2 \ge 1/3\). Punkt \(D\) leży na boku \(BC\) trójkąta równoramiennego \(ABC\), w którym \(|AC| = |BC|\). Odcinek \(AD\) dzieli trójkąt \(ABC\) na dwa trójkąty równoramienne w taki sposób, że \(|AD| = |CD|\) oraz \(|AB| = |BD|\) (patrz rysunek). Udowodnij, że \(|\sphericalangle ADC| = 5\cdot |\sphericalangle ACD| \) . Dane są dwa półokręgi o wspólnym środku \(O\) i średnicach odpowiednio \(AB\) i \(CD\) (punkty \(A, B, C, D\) i \(O\) są współliniowe). Punkt \(P\) leży na wewnętrznym półokręgu, punkt \(R\) leży na zewnętrznym półokręgu, punkty \(O, P\) i \(R\) są współliniowe. Udowodnij, że \(|\sphericalangle APB| + |\sphericalangle CRD| = 180^\circ\).
Tablice Matematyczne zawierają wybrane wzory zgodnie z wytycznymi CKE, z których możesz korzystać na maturze i będą obowiązywać od roku 2023. - zawierają wzory z poziomu podstawowego i rozszerzonego - w tablicach dodane zostały kolory, by ułatwić Ci odnajdywanie potrzebnych wzorów Zestaw wzorów matematycznych został przygotowany dla potrzeb egzaminu maturalnego z matematyki.
Wyniki matur na Podkarpaciu W Rzeszowie w czterech szkołach wszyscy zdali egzamin dojrzałości. W Krośnie - w dwóch. 1 lipca 2013, 10:00 Matura 2013. Dziś rozszerzona matematyka i język polski. Arkusze, odpowiedzi Dziś maturzyści zdają na poziomie rozszerzonym maturę z języka polskiego i matematyki. 10 maja 2013, 6:30 Matura 2013. Matematyka poszła nieźle, dziś języki obce Wczorajszy, pisemny egzamin maturalny z matematyki okazał się dość łatwy. Dziś matura z języków obcych. Najwięcej maturzystów wybiera język angielski. Pytania i... 9 maja 2013, 4:45 Matura 2013: MATEMATYKA. Pobierz arkusze, sprawdź rozwiązania Ponad 25,6 tys. maturzystów z Podkarpacia o godz. 9. pisze egzamin z matematyki, która wiele osób przyprawia o ciarki na plecach. Po jej zakończeniu podamy... 8 maja 2013, 5:30 Matura 2013, język polski. Odpowiedzi, pytania i arkusze CKE Tu znajdziesz sugerowane odpowiedzi z matury 2013 z języka polskiego. Na portalu zamieścimy też arkusze zadań egzaminacyjnych z CKE. 7 maja 2013, 13:29 Matura 2013, język polski. Pobierz arkusze Zobacz, z jakich tematów pisali egzamin z języka polskiego tegoroczni maturzyści. 7 maja 2013, 10:19 Matura próbna 2013 z Nowinami. Dziś matematyka Nauczyciele z I LO im. Króla Władysława Jagiełły w Dębicy specjalnie dla naszych Czytelników - maturzystów przygotowali arkusze próbnych matur z sześciu... 29 stycznia 2013, 8:30 Zdaj maturę z Nowinami! Nauczyciele z I LO im. Króla Władysława Jagiełły w Dębicy specjalnie dla naszych Czytelników - maturzystów przygotowali arkusze próbnych matur z sześciu... 24 stycznia 2013, 7:45 Matura 2013 bez tajemnic Egzaminy maturalne nie są obowiązkowe. Jeżeli chcesz je zdawać, do końca września musisz w szkole złożyć deklarację przystąpienia do matury 2013. 28 września 2012, 19:30 Matematyka 2022 - gdzie studiować? Lista uczelni dla wybranego kierunku Gdzie wybrać się na studia? Zobacz listę uczelni, na której możesz studiować matematyka w 2022. Sprawdź najważniejsze informacje dotyczące uczelni, a także... 30 lipca 2022, 6:00 Wciąż popełniamy te błędy, pisząc e-maile. Tobie też się zdarza? Zaczynanie od "Witam" to dopiero początek Pisanie e-maili to jedna z podstawowych form komunikacji, zwłaszcza tej służbowej, choć nie tylko. Jednak wiele osób wciąż nagminnie popełnia te same błędy.... 29 lipca 2022, 13:15 Te błędy językowe popełnia niemal każdy z nas! Też tak mówisz? Te językowe potknięcia są niezwykle częste. Oto lista Błędy popełnia każdy użytkownik języka. O tym, by nie mówić „włanczać” czy „bynajmniej” w znaczeniu „przynajmniej” wiedzą już niemal wszyscy bardziej świadomi... 27 lipca 2022, 10:16 Matematyczne Noble przyznane. Kto zwyciężył? „W tym roku wręczenie Medali Fieldsa miało szczególny charakter” Nagrody Fieldsa nie bez przyczyny nazywane są matematycznymi Noblami. To szczególne wyróżnienie przyznawane jest za wyjątkowe osiągnięcia w dziedzinie królowej... 11 lipca 2022, 9:19 W tych 40 gminach w województwie podkarpackim uczniowie najlepiej zdali maturę [RANKING] Na podstawie danych Okręgowej Komisji Egzaminacyjnej w Krakowie publikujemy ranking 40 gmin, w których uczniowie najlepiej zdali tegoroczny egzamin maturalny. 10 lipca 2022, 6:00 Matura 2022. Jak poradzili sobie maturzyści w szkołach powiatu krośnieńskiego? W niektórych bardzo słabo. Sprawdźcie wyniki Zobaczcie, jak poradzili sobie z egzaminem maturalnym uczniowie w liceach i technikach w powiecie krośnieńskim. Niestety, dla wielu zdających matura okazała się... 7 lipca 2022, 18:09 Wyniki matur 2022 w Krośnie. Tylko w jednej szkole zdali wszyscy. Jak poszło w innych? Sprawdźcie Znamy wyniki matur w poszczególnych szkołach. Jak wygląda zdawalność egzaminu maturalnego w liceach i technikach w Krośnie? Sprawdźcie w galerii. Zestawienie... 6 lipca 2022, 13:47 Matura 2023 ze zmianami. Dyrektor CKE: "Będzie trochę trudniejsza". Oto harmonogram i zmiany związane z nową maturą! Matura 2023, w nowym wydaniu, zbliża się wielkimi krokami. W kolejnym roku szkolnym uczniowie będą musieli zmierzyć się z egzaminem dojrzałości przeprowadzanym... 5 lipca 2022, 15:46 Gdzie egzamin maturalny poszedł najlepiej, a gdzie nie zdało wielu? Sprawdź wyniki matur w rzeszowskich liceach i technikach Jesteś ciekaw, jak z egzaminami poradzili sobie maturzyści z rzeszowskich podlegających miastu liceów i techników? Podajemy, ile procentowo osób zdało, a ilu... 5 lipca 2022, 15:20 Jak wpisać wyniki matur w systemie IRK? Poradnik krok po kroku. Wyniki matur 2022 są już dostępne Wyniki matur pojawiły się już dzisiaj (5 lipca 2022 roku) około godz. na indywidualnych kontach uczniów. Tegoroczni absolwenci obawiali się tego dnia, bo... 5 lipca 2022, 14:37 Znamy wyniki matur na Podkarpaciu. Niemalże co 5 uczeń nie zdał matematyki! Na Podkarpaciu język polski na poziomie podstawowym zdało 94 procent maturzystów, matematykę - 83 proc., a język angielski - 94 proc. 5 lipca 2022, 12:12 Kryteria i zasady pisania rozprawki maturalnej 2022. Za co można mieć odjęte punkty? Warto wiedzieć! Matura 2022 już za nami. 5 lipca 2022 roku uczniowie poznali wyniki egzaminów dojrzałości. Jedną z najważniejszych części matury z języka polskiego jest dłuższa... 5 lipca 2022, 9:00 Kiedy będą próbne matury 2023? Terminy są już znane! Testy diagnostyczne odbędą się we wrześniu i w grudniu Kiedy będą próbne matury 2023? To pytanie już teraz zadają sobie przyszli maturzyści. Egzamin dojrzałości w przyszłym roku szkolnym odbędzie się w nowej... 29 czerwca 2022, 15:16
Takie zadania mogą być w arkuszu CKE. Próbna matura z matematyki 2024 będzie się już 7 grudnia 2023 roku. Matura 2023 z matematyki na poziomie podstawowym jest jednym z trzech
Odpowiedzi do matury z matematyki 2022 na poziomie podstawowym. Sprawdź objaśnienia zadań z matematyki i arkusz CKE! Jak wyglądał arkusz z matematyki przygotowany przez CKE? Jakie są prawidłowe rozwiązania zadań zamkniętych i otwartych? Wyjaśniamy. Oto proponowane odpowiedzi... 6 maja 2022, 7:47 Matura z matematyki 2022. Arkusz CKE i odpowiedzi. Pytania i zadania na egzaminie z matematyki na poziomie podstawowym Matura z matematyki 2022 na poziomie podstawowym to jeden z przedmiotów obowiązkowych, do którego uczniowie przystąpili już w czwartek, 5 maja o godz. 5 maja 2022, 11:46 Co można wnieść na maturę z matematyki 2022? Oto lista przyborów dozwolonych na egzaminie z matematyki i innych przedmiotów Co można zabrać ze sobą na maturę z matematyki? To pytanie stawia sobie wielu uczniów, którzy jutro przystąpią do kolejnego egzaminu dojrzałości. Wyjaśniamy,... 7 kwietnia 2022, 15:45 Matura z matematyki odwołana? Po druzgocącym raporcie NIK jest dosadna riposta MEN: To byłaby powtórka błędu z 1982 r. Koniec matury z matematyki? Najwyższa Izba Kontroli przygotowała raport, w którym przekonuje, że egzamin maturalny z matematyki nie powinien być dla uczniów... 4 marca 2019, 11:26 Matura 2016: Maturzyści zmagają się z matematyką 5 maja to dzień, w którym wszyscy tegoroczni maturzyści zmagają się z królową nauk - matematyką. O 9:00 rozpoczęły się egzaminy z poziomu podstawowego, a o... 5 maja 2016, 8:43 Matura 2015: Matematyka i łacina. Egzamin maturalny [ARKUSZE CKE, PYTANIA, ODPOWIEDZI] Matura 2015. We wtorek zaplanowano egzaminy maturalne z matematyki na poziomie podstawowym i z języka łacińskiego i kultury antycznej. Zobaczcie pytania,... 5 maja 2015, 11:14 Matura z matematyki z przymrużeniem oka. Rozwiąż test! [Matura 2015 na luzie] We wtorek, 5 maja rozpocznie się matura z CKE z matematyki. Chcecie się sprawdzić przed egzaminem? W ramach akcji Naszego Miasta MATURA 2015 NA LUZIE... 11 grudnia 2014, 13:34 Matura 2014. Matematyka na poziomie rozszerzonym [ODPOWIEDZI, ARKUSZE] Matura 2014. Matematyka na poziomie rozszerzonym. Egzamin odbył się w czwartek, 9 maja. Maturzyści do egzaminu przystąpili o godzinie 9. na rozwiązanie zadań... 9 maja 2014, 16:39 Matura 2013 w Marcinku. Maturzyści zdają matematykę [ZDJĘCIA] Matura 2013 trwa. Dzisiaj kolejny dzień egzaminów. Maturzyści zdają matematykę. Odwiedziliśmy rano I LO w Poznaniu. Chcieliśmy zobaczyć, jak wygląda matura 2013... 8 maja 2013, 9:51 Matura 2013 - Matematyka - poziom podstawowy [ARKUSZE, ODPOWIEDZI] Maturzyści są już po egzaminie z matematyki na poziomie podstawowym. Zobacz arkusze i odpowiedzi. 8 maja 2012, 13:37 Matura 2012: Matematyka - poziom podstawowy Matury w toku. We wtorek abiturienci zdają matematykę na poziomie podstawowym. Po zakończeniu egzaminu opublikujemy arkusze i rozwiązania zadań. 8 maja 2012, 8:01 Próbna matura 2012 z matematyki [ODPOWIEDZI] W środę uczniowie szkół ponadgimnazjalnych pisali test diagnostyczny z matematyki przygotowany przez Centralną Komisję Egzaminacyjną. Poniżej test i odpowiedzi. 7 marca 2012, 12:44 Matura 2012: Próbny egzamin z matematyki [PYTANIA, ODPOWIEDZI] Przed maturzystami kolejna próba. W środę uczniowie szkół ponadgimnazjalnych napiszą test diagnostyczny z matematyki przygotowany przez Centralną Komisję... 7 marca 2012, 8:01 Próbna matura 2012: Dziś test z matematyki [PYTANIA, ODPOWIEDZI] W środę prawdziwe wyzwanie dla wielkopolskich maturzystów - matematyka. W ubiegłym roku co piąty uczeń kończący liceum czy technikum nie poradził sobie z tą... 11 stycznia 2012, 9:03 Maturzyści polegli na zadaniach otwartych Wielkopolscy maturzyści poradzili sobie z tegoroczną maturą próbną z matematyki gorzej niż rok temu. W województwie zdawalność wyniosła 65 proc. Średnia punktów... 3 grudnia 2010, 11:23 Matura 2022. Znamy wyniki tegorocznego egzaminu dojrzałości Dziś, tj. 5 lipca, tuż po rozpoczęła się konferencja ministra edukacji i nauki Przemysława Czarnka oraz szefa Centralnej Komisji Egzaminacyjnej Marcina... 5 lipca 2022, 11:56 Kiedy jest matura poprawkowa w 2022 roku? Termin składania deklaracji już minął. Tak będzie wyglądała poprawka w sierpniu Matura poprawkowa 2022 odbędzie się tak jak co roku, w sierpniu. Mogą do niej przystąpić uczniowie, którym nie powiodło się na egzaminie dojrzałości i w części... 27 maja 2022, 9:48 Egzamin ósmoklasisty 2022 Matematyka. Odpowiedzi, arkusze CKE, zadania [ 25 maja tegoroczni ósmoklasiści przystąpili do rozwiązywania egzaminu ósmoklasisty z matematyki. Przedstawiamy arkusz CKE wraz z proponowanymi odpowiedziami. 25 maja 2022, 14:09 Matura 2022 biologia. Odpowiedzi, arkusze CKE, zadania [ 12 maja maturzyści mierzyli się z matura 2022 z biologii na poziomie rozszerzonym. Prezentujemy arkusz CKE wraz z proponowanymi odpowiedziami. 12 maja 2022, 16:50 Matura z biologii 2022. Pewniaki maturalne na egzamin z biologii. Zadania, które mogą pojawić się na maturze. Te zagadnienia warto znać! Matura z biologii 2022 rozpocznie się 12 maja 2022 roku o godz. Co pojawi się na egzaminie? Trudno powiedzieć, ale warto sprawdzić tzw. pewniaki... 11 maja 2022, 18:04 Matura 2022 matematyka rozszerzona. Odpowiedzi, arkusze CKE, zadania [ 11 maja tegoroczni maturzyści pisali maturę 2022 z matematyki na poziomie rozszerzonym. Prezentujemy arkusz CKE wraz z proponowanymi odpowiedziami. 11 maja 2022, 14:55 Koniec matury rozszerzonej z matematyki 2022. Co pojawiło się na egzaminie? Zadania, arkusz CKE oraz proponowane odpowiedzi Matura rozszerzona z matematyki to egzamin, do którego bardzo często przystępują uczniowie klas matematyczno-fizycznych, chcący kontynuować swoją naukę na... 11 maja 2022, 7:59 Tablice matematyczne na maturze. W czasie matury z matematyki na obu poziomach możesz korzystać z tablic matematycznych przygotowanych przez CKE. Znajdziesz tam bardzo dużo wzorów i przydatnych informacji, które będą pomocne w czasie egzaminu, gdy stres spowoduje braki w pamięci. Tablice matematyczne z matematyki - matura. Kurs on-line do egzaminu ósmoklasisty z matematyki na rok 2022/2023 Kurs on-line do egzaminu ósmoklasisty z matematyki jest skierowany do uczniów klas 8, którzy chcą się do niego systemowo i dokładnie przygotować. Kontakt, pytania i zapisy na kurs: tel.:503-125-354 lub 698-867-597 Charakterystyka kursu przygotowującego do egzaminu 8-kl z matematyki SPECJALIZUJEMY SIĘ W PRZYGOTOWANIU UCZNIA DO EGZAMINU 8-KLASISTY Z MATEMATYKI WYBIERAJĄCEGO SIĘ NA PROFIL Z MATEMATYKĄ ROZSZERZONĄ. W naszej ofercie są również zajęcia dla ucznia, który wybiera się do liceum na matematykę podstawową. Kładziemy duży nacisk na pracowitość i systematyczność ucznia. Kurs 8-klasisty z naciskiem na powtórzenie i utrwalenie materiału przed egzaminem. W pierwszej części kursu uczniowie powtórzą materiał działami, zaś w drugiej rozwiążą testy przed egzaminem ósmoklasisty. Średnia ilość jednostek lekcyjnych: Kurs składa się z 30 spotkań = 60 jednostek lekcyjnych. Jest to optymalna ilość godzin pracy z nauczycielem pozwalająca dobrze przygotować do egzaminu ósmoklasisty. Spotkanie składa się z 2 jednostek lekcyjnych oraz 10 min przerwy. Jednostka lekcyjna trwa: 50 minut. Kurs zgodny z wymogami CKE. Kurs rozpoczyna się w drugim tygodniu września(od i trwa do połowy maja 2023. Grupy on-line od 5 do 15 osób oraz grupy stacjonarne od 5 do 20 osób. Filmy matematyczne do zajęć udostępniane są przez Internet. Każdy uczestnik kursu ma dostęp do rozwiązanych na zajęciach zadań w formie wideo, pracy domowej. Koszty za nieobecność nie są zwracane. Gratis – Hasło z dostępem do wszystkich zasobów strony , w której są: uporządkowane filmy matematyczne zawierające rozwiązane egzaminy ósmoklasisty z matematyki najlepsze zadania z różnych egzaminów dostosowanych do poziomu 8-klasy. filmy z materiałami dla ósmoklasistów pochodzącymi z CKE. CENNIK Dla kogo grupa rozszerzona? Osoby, które chcą dobrze przygotować się do egzaminu 8-klasisty i mieć bardzo wysoki wynik. Osoby, które chcą nauczyć się efektywnie zdobywać wiedzę. Kurs jest skierowany do osób wybierających się do liceum lub technikum o profilu: Matematyczno-fizycznym (matematyka rozszerzona) Matematyczno-informatycznym (matematyka rozszerzona) Biologiczno-chemicznym (matematyka rozszerzona) Matematyczno-geograficznym (matematyka rozszerzona) Innym profilu z rozszerzoną matematyką Dla kogo grupa podstawowa? Osoby, które chcą dobrze przygotować się do egzaminu 8-klasisty i mieć wysoki wynik. Osoby, które chcą nauczyć się efektywnie zdobywać wiedzę. Kurs jest skierowany do osób wybierających się do liceum lub technikum o profilu: humanistycznym (matematyka podstawowa) lingwistycznym (matematyka podstawowa) Innym profilu z matematyką podstawową Dla kogo NIE jest to kurs? Osoby z dyskalkulią powinny pracować indywidualnie z nauczycielem. Praca w grupie nie będzie w tym wypadku efektywną metodą. Osoby z innymi głębokimi trudnościami matematycznymi Osoby, które nie chcą podjąć trudu rozwiązywania pracy domowej. Jak się zapisać? Jeśli jesteś zdecydowany na uczestnictwo zadzwoń pod numer tel.:503-125-354 lub 698-867-597 Jeśli masz pytania – dzwoń Dane konta do przelewu: Numer konta: 67 1090 2590 0000 0001 4332 9580 Adresat: Szkoła Systematyczna Marek Duda Tytułem: imię i nazwisko dziecka, Szkoła Podstawowa nr: ……, miasto w którym jest szkoła. Egzamin ósmoklasisty matematyka – zadania i testy on-line Bądź na bieżąco z
W tej „serii” nie było egzaminów ze starej formuły 😉 Ze starej formuły masz całą masę egzaminów z poprzednich lat, a nowa formuła nie ma ich praktycznie wcale, stąd też CKE zrobiło we wrześniu oraz grudniu próbne matury dla takich uczniów 😉
Trwa matura 2013. Matematyka zakończona. Odpowiedzi i arkusz testu CKE znajdziecie na naszych 2013 trwa. Matematyka (poziom podstawowy) już napisana. Maturzyści rozpoczęli egzamin o godzinie 9 i mieli na niego 150 odpowiedzi oraz arkusz testu CKE znajdziecie w artykule: Matura 2013: Matematyka - odpowiedzi, arkusz testu CKECzłonkowie komisji egzaminacyjnych rozdali uczniom arkusze testów przygotowanych przez CKE. Chwilę później maturzyści rozpoczęli zmagania z obowiązkową od kilku lat matematyką. I właśnie z tego powodu mnóstwo uczniów największe obawy ma przed maturą z matematyki. Ponieważ większość z nich to popularni "humaniści", działania i skomplikowane zadania w testach nie są ich ulubioną odpowiedzi i arkusz testu CKE matury 2013 z matematyki (poziom podstawowy) szukaj też w artykule:MATURA 2013 MATEMATYKA ODPOWIEDZI Polecane ofertyMateriały promocyjne partnera

Matura 2023: Jakie przybory można wnieść na egzamin z matematyki? O tym, jakie przybory można zabrać ze sobą na salę egzaminacyjną zadecydowała Centralna Komisja Egzaminacyjna publikując

19:17: 16:21:55 A czy mógłby mi ktoś podać na e-maila te odpowiedzi bo nie mogę tego ściągnąć coś.. prosze!!! [email protected] 15:46:01 Mam odpowiedzi na Mature 2013 od znajomego z komisji!!! :D Prosze :) Radze nauczyć się odpowiedzi na pamięć, żeby później nie było... |x|=1 --> x=1 lub x= 17:11:32 Co ty najpierw zakladasz spodnie , a potem majtki ? 17:03:20 Tam jest róznica wartości bezwglednych a ona moze byc ujemna, np: I 5 I - I 8 I = -3. 19:06:36 ok, nie było tej wypowiedzi, źle popatrzyłem 19:03:24 Do mądrego, który rozwiązywał na poziomie rozszerzonym z matematyki- drugą opcję powinno się od razu odrzucić, bo wartość bezwzględna z wyrażenia nie może być ujemna. 13:30:49 Jest dobrze rozwiązane rozs.? Bo mi wyszedł ten wynik i jeszcze drugi inny przypadek.. 10:41:33 warto się zastanowić, co tu jest założeniem, a co tezą.... 10:32:20 Prosze was. Probne rozszerzenie OKE z zeszlego roku rozwiazalam z palcem w d****. A to? Toż to tragedia! I niby to samo wydawnictwo a sami zobaczcie jak podniesli poziom z roku na rok! Chciałam się zorientować czego się po OKE spodziewać. Nigdzie nie moglam znalezc arkusza. W koncu na 'chomikuj' znalazlam :) No bez porównania z tym co teraz dowalili 23:49:36 wSzystko spoko ale zauważ ze tg =1 dla pi czwartych razy kpi a nie razy 2kpi pozdrawiam . Nawiasem mówiąc nie wiedziałem z ta jednokladnoscia jak te wektory rozrysowac. A z jabłkami wyszło mi 1/10 ale uważam ze być może popełniłem jakiś błąd. Pozdrawiam po raz drugi! ;-) 21:59:55 no przeciez juz dawno jest MMaciej 21:09:40 9. Dowód z symbolami newtona zgadzał się dla n większego od dwóch (uwzgledniając część wspólną), bo po przekształceniach wyszedł prosty trójmian kwadratowy. 10. Jednokładność była moim zdaniem najtrudniejsza - po dość długich męczarcniach środek mi wyszedł chyba (-3,-2) a skala k=2. Ja sobie te wektory rozrysowałem i wstawiłem na jednej prostej co do punku. Później reszte można było policzyć. Ostatnich dwóch nie pamiętam - jak ktoś przypomni to podam swoje odpowiedzi. :) MMaciej 21:06:38 5. Ze stereometrii nigdy nie byłem dobry, ale sinus nachylenia płaszczyzny wyszedł mi sin x = pierwiastek z 6 przez 6. 6. Prawdopodobienstwo z jablkami = 5/33 7. zadanie z ciągami jest dobrze tutaj zrobione. N max równe jest 33. 8. Pole trójkąta w kole mogliście udowodnić wykorzystując dwa wzory - pierwszy na pole trójkąta dla dwóch boków i sinusa pomiędzy nimi i wzoru z twierdzenia sinusow. Ostatecznie wychodzilo p= alfa*sinus beta)*sinus gamma, co nalezalo udowodnic MMaciej 21:02:16 xe (-nieskonczonosc;1>u 3. Logarytmy trzeba bylo sprowadzic do wpsolnej podstawy. Ostatecznie wychodzilo sin x = cos x, czyli tg x=1. Teraz tylko wyrzucic to co nie nalezy do dziedziny, czyli x = 0,25pi+2*k*pi 4. Kat rombu wyliczamy za pomoca dwoch wzorow na pole. mamy dane a*a=p*q, a wzory to p=1/2*p*q=a*a*sin alfa. Podstawiamy pod p*q=a^2 i wychodzi. 0,5 a^2=a^2 sin alfa, czyli alfa = 30 stopni
Matura z matematyki. W sieci pojawiły się zdjęcia arkuszy. To przecieki? Przecieki na maturze z polskiego 2023. Czy tematy na maturę wypłynęły? Arkusze CKE i odpowiedzi do matury 2023. Gdzie ich szukać? Dwie formuły matury 2023. Dwa razy więcej przecieków i fake newsów? Czym są przecieki maturalne? Pierwsze przecieki maturalne 2023
Przed południem maturzyści zakończyli zdawanie obowiązkowego egzaminu z matematyki na poziomie podstawowym. Sprawdzian, który tradycyjnie miał być postrachem absolwentów, w tym roku nie popsuł humorów większości z nich. - To było banalne, a byłem uczniem zagrożonym z matematyki - mówił po wyjściu z IV Liceum Ogólnokształcącego Jędrzej Kupisz, tegoroczny tej szkoły śmiali się poziomu trudności zadania, w którym, aby zdobyć punkt, wystarczyło wybrać punkt na wykresie o najwyższej wartości. Zdania rocznika 1994 nie podzielali jednak starsi maturzyści, skierowani do "czwórki" jako absolwenci liceum uzupełniającego. - Nie wiem czy dostanę 90 proc. czy 40 proc. punktów, ale zdam na pewno. Zaskoczyła tylko wyjątkowo duża liczba zadań z geometrii - mówiła Małgorzata Księżak, absolwentka III LO. Centralna Komisja Egzaminacyjna opublikowała arkusze z pytaniami. Zapraszamy do zapoznania się z treścią zadań, z którymi musieli zmierzyć się dziś 2013 - MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWYMATURA 2013 - MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY
Przecieki matura matematyka 2023. W ubiegłych latach głośno było o wyciekach tematów maturalnych. Sprawa trafiła nawet do prokuratury! W tym roku uczniowie nie mogli jednak liczyć na "pomoc" kolegów i koleżanek z Podlasia czy Mazowsza. CKE postawiło na szereg zabezpieczeń, by nie dopuścić do wycieku matur.

7. Pisz czytelnie i używaj tylko długopisu lub pióra z czarnym tuszem lub atramentem. 8. Nie używaj korektora, a błędne zapisy wyraźnie przekreśl. 9. Pamiętaj, że zapisy w brudnopisie nie będą oceniane. 10. Możesz korzystać z zestawu wzorów matematycznych, cyrkla i linijki oraz kalkulatora prostego. Miejsce na naklejkę.

ONH4l.
  • y87w4vd4pp.pages.dev/87
  • y87w4vd4pp.pages.dev/57
  • y87w4vd4pp.pages.dev/85
  • y87w4vd4pp.pages.dev/68
  • y87w4vd4pp.pages.dev/23
  • y87w4vd4pp.pages.dev/48
  • y87w4vd4pp.pages.dev/78
  • y87w4vd4pp.pages.dev/22

    • matura z matematyki cke 2013